invertierbarer

Invertierbar bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft eines Objekts, durch ein Inverses rückführbar zu sein. Die attributive Form des Adjektivs, invertierbarer, wird vor männlichen Singularnomen verwendet (z. B. ein invertierbarer Operator), während andere Formen wie invertierbare Matrix, invertierbare Funktion ebenfalls geläufig sind.

In der linearen Algebra gilt eine quadratische Matrix A als invertierbar, wenn es eine eindeutige Matrix B gibt mit AB = BA = I, wobei I die Einheitsmatrix ist. Eine solche Matrix besitzt eine reelle oder komplexe Inverse A^{-1}. Äquivalent hierzu ist, dass det(A) ≠ 0 oder der Rang von A gleich der Ordnung der Matrix ist. Inverse Transformationen existieren genau dann, wenn eine lineare Abbildung bijektiv ist.

In der abstrakten Algebra werden Elemente als invertierbar bezeichnet, wenn es ein multiplikatives Inverses gibt. In einem Ring oder einer Gruppe sind solche Elemente Einheiten. Beispiel: Eine invertierbare Zahl in den reellen oder komplexen Zahlen ist eine Einheit, deren multiplikatives Inverses die Zahl selbst multipliziert mit 1 ergibt.

In der Analysis und Geometrie kann eine Abbildung f invertierbar sein, wenn sie eine invertierbare Abbildung mit einer gleichartigen Umkehrung besitzt. Diffeomorphismen sind glatte Abbildungen mit glatten Umkehrungen, die lokal wie eine Invertierbarkeit funktionieren.

Praktisch spielt die Invertierbarkeit eine Rolle bei der Lösung linearer Gleichungssysteme, der Bestimmung von Inversen und der Stabilität numerischer Verfahren. See also: Invertierbarkeit, Einheiten, Bijektion, Umkehrfunktion, Determinante.