Übergangsfunktionen

Übergangsfunktionen sind Abbildungen, die den Koordinatenwechsel zwischen überlappenden Koordinatenkarten (Charts) einer Mannigfaltigkeit beschreiben. Sie geben an, wie man in dem einen Chart Koordinatenwerte in die Koordinatenwerte des anderen Charts überführt.

In der Differentialgeometrie besitzt eine glatte Mannigfaltigkeit M ein Atlas aus Chartpaaren (U_i, φ_i), wobei φ_i U_i in den euclidean Raum R^n abbildet. Für zwei Charts i und j mit U_i ∩ U_j ≠ ∅ ist die Übergangsfunktion φ_j ∘ φ_i^{-1} definiert auf dem von φ_i(U_i ∩ U_j) offenen Teil von R^n und hat als Ziel φ_j(U_i ∩ U_j). Solche Übergangsfunktionen müssen bei einer glatten Struktur glatt (C^k oder C^∞) sein und ihre Umkehrungen ebenfalls glatt. Auf Dreifachüberlappungen erfüllt die Cocycle-Bedingung: φ_k ∘ φ_j^{-1} ∘ φ_j ∘ φ_i^{-1} = φ_k ∘ φ_i^{-1}.

Beispiele verdeutlichen die Bedeutung: In der Standardstruktur von R^n sind alle Charts so gewählt, dass alle Übergangsfunktionen Identitäten sind. Für komplexe oder projektive Manifolds ergeben Übergangsfunktionen holomorphe bzw. definitorische Formen, die die jeweilige Struktur tragen.

Bedeutung und Anwendungen: Übergangsfunktionen bestimmen die Kompatibilität der lokalen Koordinatendarstellungen und sind zentral für die Definition glatter Strukturen auf Mannigfaltigkeiten. Sie beschreiben, wie lokale Trivialisationen von Vektorbündeln zusammenpassen, und definieren die Strukturgruppe (z. B. GL(n, R) für reelle Vektorräume). Allgemein sind sie Grundlage für Konstruktionen in Geometrie, Topologie und theoretischer Physik.