tijdstapmethoden

Tijdstapmethoden zijn numerieke technieken voor het benaderen van oplossingen van tijdafhankelijke differentiaalvergelijkingen door tijd in discrete stappen te verdelen. Bij elke stap wordt een toestand op een toekomstige tijd uit de toestand op eerdere tijdstippen berekend, meestal in combinatie met een ruimtediscretisatie.

Methoden worden doorgaans onderverdeeld in expliciete en impliciete varianten. Expliciete methoden berekenen de toekomstige waarde rechtstreeks uit de huidige en voorgaande waarden en zijn meestal eenvoudig en snel per stap, maar kunnen instabiel worden bij scherpe tijdstommelingen of stijfheid. Impliciete methoden vereisen het oplossen van een systeem bij elke stap en zijn doorgaans stabieler, wat ze geschikt maakt voor stijf gedrag.

Voorbeelden van expliciete methoden zijn Forward Euler en expliciete Runge-Kutta (RK4). Voor impliciete methoden horen Backwards Euler en Crank-Nicolson. Multistep-methoden zoals Adams-Bashforth (expliciet) en Adams-Moulton (impliciet) combineren voorgaande stappen met de huidige stap en kunnen de efficiëntie of stabiliteit verbeteren afhankelijk van de toepassing.

De keuze hangt af van gewenste nauwkeurigheid, stabiliteit en kosten. De orde bepaalt de lokale fout, stabiliteitskenmerken zoals A-stabiliteit en L-stabiliteit beschrijven lange-termijngedrag. Voor stijfheid zijn impliciete of semi-impliciete methoden vaak geschikt. Adaptieve tijdstappen passen de stapgrootte aan op basis van foutmetingen.

In de praktijk worden tijdstapmethoden meestal toegepast in combinatie met ruimtediscretisaties bij de oplossing van tijd-afhankelijke PDE's. Een correcte implementatie vereist analyse van stabiliteit en convergentie en geschikte oplossingsmethoden voor de intern op te lossen systemen.