telreeks

Telreeks is een begrip uit de wiskunde dat verwijst naar een opeenvolging van getallen die in een vaste volgorde zijn geplaatst. De rij wordt vaak aangeduid met a_n, waarbij n een natuurlijk getal is dat bij 1 begint. Een telreeks kan eindig zijn, met een vastgesteld aantal termen, of oneindig, waarbij de rij oneindig doorgaat.

Veelgebruikte typen telreeksen zijn onder meer aritmetische reeksen en geometrische reeksen. Bij een aritmetische reeks verandert elk volgend getal met een constante d ten opzichte van het vorige, bijvoorbeeld 2, 5, 8, 11, ... met d = 3. Bij een geometrische reeks verandert elk volgend getal met een constante factor r, bijvoorbeeld 3, 6, 12, 24, ... met r = 2. Telreeksen kunnen ook recursief gedefinieerd zijn, waarbij de n-de term afhankelijk is van eerdere termen, bijvoorbeeld a_{n+1} = f(a_n, n).

Een belangrijk onderwerp bij telreeksen is de analyse van hun gedrag naarmate n groter wordt. Een telreeks kan convergent zijn, wat betekent dat lim_{n→∞} a_n bestaat en gelijk is aan een getal L. Een divergentie kan voorkomen wanneer de termen niet naar een vaste waarde toe neigen of ongeacht verdere termen blijven groeien. Eigenschappen zoals monotoniciteit (de termen blijven steeds wel of niet stijgen) en begrenzing spelen hierbij vaak een rol.

Relatie tot series: de som van de eerste n termen van een telreeks wordt een partial sum genoemd en genoemd als S_n. Wanneer de limiet van S_n bestaat, spreken wiskundigen van convergente series. Het onderscheid tussen telreeksen en series is dus dat een reeks de som zelf is, terwijl een telreeks de opeenvolging van de termen beschrijft.

Toepassingen van telreeksen komen veel voor in analyse, numerieke methoden en tijdreeksen binnen data-analyse.