tStatistik

Die t-Statistik ist eine Stichprobenstatistik, die verwendet wird, um Hypothesen über den mittleren Wert einer Grundgesamtheit zu testen, wenn die Populationsstandardabweichung unbekannt ist. Sie basiert auf der t-Verteilung (Student-t-Verteilung) und ist vor allem dann wichtig, wenn n klein ist oder σ unbekannt.

Für eine Einsamplet-Analyse lautet die Standardformel: t = (X̄ - μ0) / (s / √n), wobei X̄ der Stichprobenmittelwert, μ0 der zu testende Populationsmittelwert, s die Stichprobenstandardabweichung und n die Stichprobengröße sind. Die Freiheitsgrade sind df = n − 1.

Zwei- bzw. Mehrstichprobenvergleiche verwenden t-Statistiken mit unterschiedlichen Varianten. Beim unabhängigen Zweistichproben-T-Test mit gepoolter Varianz gilt t = (X̄1 − X̄2) / sqrt(s_p^2 (1/n1 + 1/n2)), mit s_p^2 = ((n1−1)s1^2 + (n2−1)s2^2) / (n1 + n2 − 2) und df = n1 + n2 − 2. Bei Varianzenungleichheit verwendet man Welch’s T-Test: t = (X̄1 − X̄2) / sqrt(s1^2/n1 + s2^2/n2), df wird durch die Welch-Satterthwaite-Variante näherungsweise bestimmt. Der gepaarte T-Test nutzt t = d̄ / (s_d / √n), wobei d̄ der Mittelwert der Differenzen und s_d deren Standardabweichung ist, df = n − 1.

Die t-Verteilung besitzt schwerere Tails als die Normalverteilung und nähert sich dem Normalverteilungsgipfel mit zunehmenden Freiheitsgraden. Voraussetzungen sind zufällige Stichproben, Unabhängigkeit der Beobachtungen, Messniveau mindestens intervallskaliert und Normalverteilung der Grundgesamtheit oder ausreichende Stichprobengröße.

Historisch wurde die Methode von William Sealy Gosset unter dem Pseudonym Student eingeführt (1908). Die t-Statistik ist heute grundlegend in der Inferenzstatistik, insbesondere bei Hypothesentests und Konfidenzintervallen für Mittelwerte.