StudenttVerteilung

Die Student-t-Verteilung, im Englischen als Student’s t-distribution bekannt, ist eine Familie symmetrischer Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die in der statistischen Inferenz bei kleinen Stichproben verwendet wird, insbesondere wenn die Populationsvarianz unbekannt ist. Sie wurde 1908 von William Sealy Gosset unter dem Pseudonym Student eingeführt.

Die Verteilung entsteht, wenn der Stichprobenmittelwert einer normalverteilten Population mit unbekannter Varianz standardisiert wird. Dafür gilt der T-Wert T = (Xbar − μ) / (S/√n), wobei Xbar der Mittelwert, μ der Populationsmittelwert, S die Stichprobenstandardabweichung und n die Stichprobengröße ist. Die Verteilung hängt von ν = n − 1 Freiheitsgraden ab.

Eigenschaften: Die Verteilung ist symmetrisch um 0 und besitzt schwerere Tails als die Normalverteilung, insbesondere für geringe ν. Mit zunehmendem ν nähert sie sich der Standardnormalverteilung N(0,1). Ihre Dichte ist f(t|ν) = Γ((ν+1)/2) / (√(νπ) Γ(ν/2)) · (1 + t^2/ν)^(-(ν+1)/2). Für ν>1 existiert der Erwartungswert 0; die Varianz ist ν/(ν−2) für ν>2.

Anwendungen: Sie wird in t-Tests (ein- und zweiseitig, gepaarte Tests) sowie in Konfidenzintervallen für μ bei unbekannter Varianz verwendet, insbesondere bei kleinen Stichproben. Die Verteilung ist abhängig von ν; für große ν wird sie zur Normalverteilung.