stochastisches

Stochastisches bezeichnet Eigenschaften, Modelle oder Phänomene, die durch Zufall geprägt sind. In der Mathematik und den Anwendungsdisziplinen ist damit die Beschreibung von Zufallsprozessen gemeint, also von Systemen, deren zukünftiger Zustand nicht deterministisch vorhersagbar ist, sondern Wahrscheinlichkeiten zugrunde liegen.

In der Stochastik wird oft von stochastischen Prozessen gesprochen: eine Familie von Zufallsvariablen {X_t} mit t als Zeitpunkt oder Index, definiert auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitssystem (Ω, F, P). Die Werte eines Prozesses werden durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Abhängigkeiten bestimmt. Typische Unterformen sind diskrete Prozesse (zum Beispiel Zufallspfad, Zufallspfad) und kontinuierliche Prozesse (zum Beispiel Brownsche Bewegung, Lévy-Prozesse). Markovprozesse zeichnen sich durch die Gedächtnislosigkeit der Gegenwart aus; stationäre Prozesse weisen statistische Eigenschaften auf, die im Zeitverlauf invariant bleiben.

Stochastische Modelle finden Anwendung in Natur- und Ingenieurwissenschaften, Wirtschaft, Biologie, Informatik und Warteschlangentheorie. Beispielsweise modellieren stochastische Differentialgleichungen die Entwicklung von Systemen unter randomer Einflussnahme; Monte-Carlo-Simulationen ermöglichen die Untersuchung komplexer Modelle durch Zufallsproben.

Wichtige Werkzeuge sind Wahrscheinlichkeitsrechnung, Verteilungen, Erwartungswert, Varianz, das Gesetz der großen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz. In der Praxis kommen auch Methoden wie Kalman-Filter, SDE-Modelle, Ito-Kalkül und stochastische Optimierung zum Einsatz. Stochastisches steht damit im Gegensatz zu deterministischen Modellen, die ohne Zufall auskommen.