selbstadjungiert

Selbstadjungiert ist ein Begriff aus der Funktionalen Analysis, der sich auf Operatoren in einem Hilbertraum bezieht. Ein Operator T mit dom(T) dicht in H ist genau dann selbstadjungiert, wenn T = T* und dom(T) = dom(T*). Äquivalent dazu gilt: ⟨Tx, y⟩ = ⟨x, Ty⟩ für alle x, y in dom(T) und dom(T) = dom(T*). Diese Bedingung setzt voraus, dass T abgeschlossen ist; selbstadjungierte Operatoren sind always dicht definiert und abgeschlossen.

Wichtige Eigenschaften sind die Dichte des Radouüber dom(T), das abgeschlossene Wesen und das reelle Spektrum. Durch den Spektralsatz lassen sich Funktionen von T definieren, was die Analyse von T wesentlich erleichtert. Eigenwerte einer selbstadjungierten Operatoren sind real, was zu orthogonalen Eigenvektoren führt. Das Spektrum umfasst typischerweise einen Mix aus diskretem und/oder kontinuierlichem Teil.

Beispiele: Die Multiplikation mit einer reellen Funktion f auf L^2(X) ist selbstadjungiert. Der Laplace-Operator Δ mit passenden Randbedingungen (z. B. Dirichlet oder Neumann) auf einem Intervall ist selbstadjungiert. Der unendliche Impulsoperator −i d/dx auf L^2(ℝ) mit geeigneter Domäne ist ein klassisches Beispiel aus der Quantenmechanik und gilt als selbstadjungiert.

Bedeutung: Selbstadjungierte Operatoren modellieren Observablen in der Quantenmechanik; der Spektralsatz erlaubt eine Zerlegung in Messwerte und Spektralprojekte. Unterschied zu Hermitian/Symmetric: In endlichen Dimensionen stimmen self-adjoint und Hermitian überein; in unendlichen Dimensionen wird oft zwischen symmetrisch (Hermitian) und selbstadjungiert unterschieden, da nicht jeder symmetrische Operator eine selbstadjungierte Erweiterung besitzt.