rotatieprincipes

Rotatieprincipes verwijzen naar de wiskundige en praktische basis voor rotaties in de meetkundige ruimte. Een rotatie is een transformatie die de afstand tussen punten behoudt en de oriëntatie correct houdt, meestal met determinant 1. In drie dimensies vormen rotaties de groep SO(3). Een rotatie kan op verschillende representaties worden beschreven: een rotatiematrix R met R^T R = I en det(R) = 1, een as- en hoeksverhouding, een eenheid-quaternion q, en Euler-hoeken (pitch, yaw, roll). De keuze van representatie heeft invloed op berekeningen en interpolaties.

Eigenschappen: Rotaties behouden lengtes en hoeken; samenstelling van rotaties komt overeen met matrixvermenigvuldiging. Rotaties zijn niet commutatief: de volgorde van toepassingen bepaalt het resultaat. Inverse rotatie is de transpose van de rotatiematrix, of de inverse quaternion.

Representaties nader bekeken: Rotatiematrices zijn 3x3 orthogonale matrices; Rodrigues' formule biedt een snelle manier om een rotatie om een as n met hoek θ te berekenen. Quaternions vermijden problemen zoals gimbal lock bij Euler-hoeken en maken soepele interpolatie mogelijk (slerp). Euler-hoeken zijn intuïtief maar kunnen ambigu zijn en leiden tot singulariteiten.

Toepassingen: computergraphics, robotica, navigatie, astronomie en natuurkunde. In alle gevallen is het van belang om consistente representaties en conversies te hanteren, en rekening te houden met numerieke randvoorwaarden zoals orthogonaliteit en normalisatie van representaties.

Samengevat vormen rotatieprincipes de kern van het beschrijven en combineren van oriëntaties in ruimte, met meerdere wiskundige en praktische representaties.