rotatiematrix

Een rotatiematrix is een vierkante matrix die een rotatie in euclidische ruimte uitvoert. Als lineaire operator behoudt hij de oorsprong, lengtes en hoeken, en verandert hij de oriëntatie niet. Rotatiematrices vormen de groep SO(n), onderdeel van de orthogonale groep O(n): ze zijn orthogonaal en hebben determinant +1. Concreet geldt voor een rotatiematrix Q dat Q^T Q = I en det(Q) = 1, en de inverse is Q^−1 = Q^T.

In tweevoudige ruimte is een rotatie om de oorsprong door een hoek θ gegeven door R(θ) = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]]. Toegepast op een vector behoudt R(θ de lengte en draait de vector counterclockwise met hoek θ.

In drie dimensies kan rotatie om een vaste as u door een hoek θ beschrijven. Een veelgebruikte uitdrukking is Rodrigues’ formule: R(u, θ) = I cos θ + (1 − cos θ) u u^T + sin θ [u]_×, waarbij u een eenheidsvector langs de rotatie-as is en [u]_× de skew-symmetric kruisproductmatrix is. Met deze bouwstenen kunnen ook samengestelde rotaties worden beschreven.

Eigenschappen: rotatiematrices zijn orthogonaal, hebben determinant 1, en hun inverse is de transpose. Samenstellingen van rotaties blijven rotaties, waardoor de set van rotatiematrices gesloten is onder matrixvermenigvuldiging. Rotaties houden de oriëntatie vast, in tegenstelling tot spiegelingen waarmee determinant −1 ontstaat.

Toepassingen: computergraphics, robotica, ruimtevaart, 3D-modellering en simulaties. In het algemeen vormen rotatiematrices de wiskundige basis voor het beschrijven en berekenen van oriëntaties en bewegingen in meerdere dimensies.