rijverwisseling

Rijverwisseling is een wiskundige bewerking waarbij twee rijen van een matrix met elkaar van plaats worden verwisseld. Het behoort tot de drie elementaire rij-operaties die gebruikt worden bij Gauss-eliminatie en verwante methoden om matrices om te zetten naar rij-echelons of gereduceerde rij-echelonvorm, zodat lineaire systemen eenvoudiger opgelost kunnen worden.

Een rijverwisseling heeft enkele kenmerkende eigenschappen. Ze verandert de determinant van een vierkante matrix door een factor −1 (het teken van de determinant keert om bij elke wissel van twee rijen). De rang van de matrix en de oplossing van een lineair systeem blijven onveranderd onder rijverwisseling; de bewerking is omkeerbaar, en de oorspronkelijke matrix krijg je terug door nogmaals dezelfde twee rijen te verwisselen.

Rijverwisseling wordt vooral toegepast om een geschikte pivot te verkrijgen tijdens Gauss-eliminatie. Als de huidige pivot nul is, kan een rij beneden met een niet-nul waarde in die kolom gewisseld worden om de eliminatie voort te kunnen zetten. In gevorderde implementaties wordt vaak gekozen voor partial pivoting, waarbij de rij met de grootste absolute waarde in de kolom boven de nul wordt gekozen om numerieke stabiliteit te verbeteren.

Voorbeeld: neem M = [ [2, 3], [5, 7] ]. Een rijverwisseling van rij 1 en rij 2 geeft M' = [ [5, 7], [2, 3] ]. De determinant verandert van -1 naar 1, in overeenstemming met het feit dat een rijwisseling de determinant negatief kan maken. Rijverwisselingen kunnen makkelijk worden teruggedraaid door dezelfde rijen opnieuw te verwisselen.