resultantes

El resultante, o resultantes, es una cantidad algebraica asociada a dos polinomios que permite detectar la existencia de raíces comunes entre ellos. En el caso univariante, sea A(x) de grado m y B(x) de grado n con coeficientes en un cuerpo k. El resultante Res(A,B) es un elemento de k definido como el determinante de la matriz de Sylvester de A y B, una matriz de tamaño (m+n)×(m+n) construida a partir de los coeficientes de A y de B. El resultadoante tiene la propiedad fundamental de que Res(A,B) = 0 si y solo si A y B tienen una raíz común en alguna extensión algebraica de k.

Una forma práctica de entender Res(A,B) es por las raíces: si α1,…,αm son las raíces de A y β1,…,βn las de B en una clausura algebraica, entonces Res(A,B) = a_m^n ∏_{i=1}^m B(α_i) = b_n^m ∏_{j=1}^n A(β_j) = a_m^n b_n^m ∏_{i=1}^m ∏_{j=1}^n (α_i − β_j). En particular, Res(A,B) es un polinomio en los coeficientes de A y B, y Res(A,B) = 0 indica la existencia de una raíz común.

Propiedades relevantes incluyen Res(A,B) = 0 si A y B no son coprimos, y Res(A,B) = (−1)^{mn} Res(B,A). Relacionado con el discriminante, Disc(A) se obtiene como Disc(A) = (−1)^{m(m−1)/2} (1/a_m) Res(A,A′), donde A′ es la derivada.

Aplicaciones: uso central en eliminación de variables para obtener condiciones en parámetros cuando se buscan soluciones comunes a P(x,y)=0 y Q(x,y)=0; en geometría algebraica para obtener ecuaciones implícitas de curvas y en algoritmos de computación algebraica. Existen generalizaciones multivariantes conocidas como resultantes multivariantes, útiles para sistemas de varias polinomiales.