quotientgroep

Een quotientgroep, ook wel factorgroep genoemd, is in de algebra de groep G/N die ontstaat uit een groep G en een normale deelgroep N daarvan. De elementen van G/N zijn de cosetten van N in G, aangeduid als gN voor g in G. De bewerking op G/N is gN · hN = (gh)N; deze operatie is goed gedefinieerd omdat N normaal is in G.

N is een normaal deelgroep van G als voor elk g in G geldt dat gNg^{-1} = N. Equivalenter: gN = Ng voor alle g in G. Deze eigenschap garandeert dat de product van twee cosetten een coset is en dat inversen bestaan in G/N. Het identiteitselement in G/N is de coset N en het inverse van gN is g^{-1}N.

Een alternatief en vaak handig beeld is: de elementen van G/N zijn de equivalence klassen onder de relatie a ~ b als ab^{-1} in N. De structuur van G/N volgt dan uit de cosetoperatie zoals hierboven beschreven.

Eigenschappen: er is een natuurlijke homomorfisme π: G → G/N, g ↦ gN, dat de groep G afbeeldt op de quotientgroep. Een fundamenteel resultaat is het eerste isomorphisme-theorema: als f: G → H een groephomomorfisme is met N = ker f, dan G/N is isomorf aan Im f. Daarnaast geldt de Correspondentie (of Contact theoreme) tussen subgroepen van G die N bevatten en subgroepen van G/N.

Voorbeelden: in de gehele getallen onder optelling geeft N = nZ een quotientgroep Z/nZ, een cyclische groep van orde n. In S4 is A4 een normaal deelgroep en S4/A4 is een groep van orde 2.

Quotiëntgroepen spelen een sleutelrol bij de studie van homomorfismen en de structurele theorie van groepen.