parametrisierenden

Parametrisierenden bezeichnet im Deutschen die Tätigkeit des Parameterisierens: die Darstellung einer geometrischen Figur, einer Kurve oder einer Fläche durch eine Parameterdarstellung. Eine Parameterisierung ordnet jedem Parameterwert Koordinaten zu und erzeugt so eine Abbildung aus einem Parameterraum in den Raum der Geometrie (typisch R^2 oder R^3).

Formell handelt es sich um eine Abbildung X: D → R^n, wobei D ein Teilraum des R^k ist (oft ein Intervall oder Rechteck) und X-über u die Koordinatenfunktionen liefert. Für Kurven nutzt man häufig eine einzelne Variable t, für Flächen zwei Variablen (u, v). Eine Parameterisierung beschreibt damit eine Geometrie als Bild des Parameterraums.

Eine Parameterisierung gilt als regulär, wenn die Ableitungen bzw. die partiellen Ableitungen nicht linear abhängig sind: Für Kurven gamma'(t) ≠ 0, für Flächen X_u und X_v, die unabhängig zueinander sind. Die Bogenlänge kann durch geeignete Parameterwahl erreicht werden, wodurch eine Bogenlängen-Parameterisierung entsteht. Parameterisierungen können auch reparametrisiert werden, um beispielsweise das Tempo oder die Orientierung entlang der Figur zu ändern, ohne deren Form zu verändern.

Beispiele: Die Kreisparametrisierung x = r cos t, y = r sin t (t im Intervall), eine Gerade gamma(t) = (x0, y0) + t(v1, v2), oder Oberflächen wie X(θ, φ) = (r sinφ cosθ, r sinφ sinθ, r cosφ) auf einer Kugel. Reparametrisierung etwa durch t → φ(t) ändert nur den Verlauf.

Anwendungen finden sich in Geometrie, Analysis, Computergrafik, CAD/CAM, Physik und Robotik, wo Parameterisierungen zur Berechnung von Integralen, zur Modellierung von Formen und zur Steuerung von Bewegungen verwendet werden.