Parameterdarstellung

Parameterdarstellung bezeichnet die Darstellung einer geometrischen Größe als Bild eines Parametersystems unter einer Abbildung. Dabei wird jeder Punkt der zu beschreibenden Größe durch eine oder mehrere Parameterfunktionen beschrieben. Ziel ist es oft, die Punkte systematisch zu erzeugen oder analytisch mit Veränderung der Parameter zu arbeiten.

Für eine Ebene Kurve genügt eine Parametrisierung durch zwei Funktionen x(t) und y(t), wobei t in einem Intervall liegt: C = { (x(t), y(t)) | t im I }. Die Parameterisierung macht explizite Beziehungen über die Koordinaten hinweg möglich und erlaubt einfache Berechnungen von Länge, Tangenten oder Orientierung. Für Flächen verwendet man eine zweidimensionale Parametrisierung r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) mit zwei Parametern u, v. Das Bild von einem Parameterraum lässt so die Fläche in drei Dimensionen darstellen.

Beispiele sind der Kreis x(t) = r cos t, y(t) = r sin t (t in [0, 2π)), die Ellipse x(t) = a cos t, y(t) = b sin t, sowie eine Geradenparametrisierung x = x0 + t dx, y = y0 + t dy. In der dreidimensionalen Geometrie lässt sich die Kugel durch Sphärische Koordinaten parametrisieren: x = sinφ cosθ, y = sinφ sinθ, z = cosφ.

Wichtige Eigenschaften betreffen die Regularität und Geschwindigkeit der Parametrisierung; r′(t) ≠ 0 (für Kurven) bedeutet eine reguläre Kurve. Umparametrisierung bezieht sich auf das Umformen der Parameter, ohne die abgedeckte Geometrie zu ändern. Nachteile sind die Nichtuniqueness und mögliche globale Einschränkungen, insbesondere bei komplexen Formen.