Umparametrisierung

Umparametrisierung bezeichnet in Mathematik und verwandten Disziplinen den Prozess, eine Geometrie oder Funktion durch eine andere Parameterisierung zu beschreiben. Ziel ist es, die Darstellung zu vereinfachen, Regularität zu erhöhen oder die Eigenschaften entlang der Kurve, Fläche oder Funktion zu steuern.

Formell sei gamma: I → R^n eine Kurve. Eine Umparametrisierung erhält man durch eine stetige, strikt monotone Abbildung phi: J → I und definiert gammã(u) = gamma(phi(u)). Unter geeigneten Regularitätsbedingungen (phi ∈ C^1, phi' > 0) ist gammã geometrisch äquivalent zu gamma, unterscheidet sich aber in der Zuordnung von Parameterwerten zu Punkten.

Eine häufige Zielgröße ist die Bogenlängen-Parameterisierung: Man wählt phi so, dass ||gammã'(s)|| = 1, sodass s als Bogensekunde interpretiert wird und gammã(s) die Kurve mit konstanter Geschwindigkeit durchläuft. Dazu gilt s = ∫ ||gamma'(t)|| dt, wobei der Integrationsprozess die neue Parameterisierung definiert.

Beispiele und Anwendungen: Gamma(t) = (cos t, sin t) für t ∈ [0, 2π] lässt sich durch u = t^2 reparametrisieren zu gammã(u) = (cos sqrt(u), sin sqrt(u)) mit u ∈ [0, (2π)^2]. In der Praxis helfen Umparametrisierungen in der numerischen Analyse, der Computergraphik und der Differentialgeometrie, Probleme wie Ungleichförmigkeit, Störungsempfindlichkeit oder Singularitäten zu vermeiden. Wichtige Voraussetzungen sind differentiable phi und eine Bijektivität, damit die neue Parametrisierung eindeutig ist.

Siehe auch Parametrisierung, Reparametrisierung und Arc-length-Parameterisierung.