Umparametrisierungen

Umparametrisierungen bezeichnet in der Geometrie und Analysis die Ersetzung einer Parameterisierung eines geometrischen Objekts durch eine neue Parameterisierung, die durch Komposition mit einer Abbildung der Parameterspanne entsteht. Sei c: I -> R^n eine Kurvenparameterisierung. Eine Umparametrisierung erhält man durch c̃ = c ∘ φ, wobei φ: J -> I eine streng monoton wachsende (idealerweise diffeomorphe) Abbildung ist. Dann beschreibt c̃ dieselbe Kurve wie c, jedoch mit geänderter Parametrisierung.

Bedingungen und Folgen: Falls φ C^1 ist und φ' > 0, ist auch c̃ C^1 und c̃'(t) = c'(φ(t)) · φ'(t). Die geometrische Bildmenge der Kurve bleibt unverändert; nur die Ortsgeschwindigkeit verändert sich. Dadurch kann der Bogenlängenparameter s genutzt werden, um eine gleichmäßige Abtastung der Kurve zu erreichen, etwa durch eine Umparametrisierung, die die Bogenlänge s als Parameter verwendet (|dc/ds| = 1).

Äquivalenzrelation und Invarianten: Zwei Parameterisierungen beschreiben dieselbe Kurve, wenn sie durch eine geeignete monotone Abbildung φ miteinander verknüpft sind. Geometrische Eigenschaften der Kurve sind unter Parametrisierung invariant, während berechnete Größen wie Geschwindigkeit oder krümmungsabhängige Ausdrücke von der konkreten Parametrisierung abhängen können; die Bogenlängenkonvention vereinfacht viele Formeln.

Anwendungen: Umparametrisierungen spielen eine zentrale Rolle in Computergrafik, Robotik, Kurven- und Flächenparametrisierung sowie in der numerischen Analysis, um gleichmäßige Abtastung, Stabilität von Algorithmen oder Optimierungen entlang einer Kurve zu ermöglichen.