Bogenlängenparameter

Bogenlängenparameter, im Deutschen auch arc-length-Parameter genannt, bezeichnet in der Geometrie eine Wahl des Parameters einer regulären Kurve so, dass die Parameterisierung mit der Bogenlänge s erfolgt. Sei r: I → R^n eine reguläre Kurve mit r'(t) ≠ 0 für alle t in I. Die Bogenlänge vom Startpunkt t0 bis t ist definiert durch s(t) = ∫_{t0}^t ||r'(u)|| du. Falls s(t) strikt monoton ist, besitzt der Kurvenrest eine Umkehrfunktion t = t(s), durch die man eine Bogenlängenparametrisierung r̃(s) = r(t(s)) erhält.

In einer Bogenlängenparametrisierung gilt die Geschwindigkeit 1, d.h. ||dr̃/ds|| = 1. Der Tangentenvektor T(s) ist damit r̃′(s) und hat Norm 1. Wesentliche Größen wie Krümmung κ(s) und Torsion τ(s) lassen sich direkt in Abhängigkeit von s ausdrücken: κ(s) = ||dT/ds||, und in drei Dimensionen folgt die Frenet-Serret-Formel dT/ds = κN, dN/ds = −κT + τB, dB/ds = −τN, wobei N und B die Haupt- und Binormale bilden.

Für eine allgemeine Parametrisierung r(t) lässt sich eine Bogenlängenparametrisierung durch den Stützparameter s(t) bestimmen. Ist s(t) injektiv, erhält man r̃(s) = r(t(s)) mit ||dr̃/ds|| = 1. Beispiele: eine Gerade kann durch r̃(s) = a + su dargestellt werden; eine Kreisschleife mit Radius R lässt sich als r̃(s) = (R cos(s/R), R sin(s/R), 0) parametrisieren, wobei κ = 1/R konstant ist.

Anwendungen finden sich in der Differentialgeometrie, der Kurvenanalyse sowie in der Physik, etwa zur Beschreibung von Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit.