BogenlängenParameterisierung

Die Bogenlängenparameterisierung ist eine Parameterisierung einer Kurve so, dass der Parameter der zurückgelegten Bogenlänge entspricht. Bei einer Kurve r(t) im Raum R^n bedeutet dies, dass der Parameter s die Bogenlänge von einem Startpunkt bis zu einem beliebigen Punkt der Kurve misst und die Geschwindigkeit entlang der Kurve gleich 1 ist.

Gegeben eine differenzierbare Kurve r: I → R^n mit regulärer Ableitung (||r′(t)|| > 0) definieren wir die Bogenlänge s(t) als s(t) = ∫_{t0}^{t} ||r′(u)|| du. Dann existiert eine Umparametrisierung r̃(s) = r(t(s)), wobei t(s) die Umkehrfunktion von s(t) ist. Für diese Bogenlängenparametrisierung gilt die Ableitung dr̃/ds = r′(t) / ||r′(t)|| und damit ||dr̃/ds|| = 1. Die Kurve wird damit mit konstanter Geschwindigkeit 1 durchlaufen.

Vorteile und Eigenschaften: Die Bogenlängenparametrisierung macht die Kurve unabhängig von der ursprünglichen Parametrisierung; Größen, die von der Geometrie abhängen (z. B. Krümmung), lassen sich oft einfacher ausdrücken. Für eine bogenlängenparametrisierte Kurve gilt die Krümmung κ(s) = ||d^2 r̃/ds^2||, da der Betrag des ersten Ableitungsvektors konstant 1 ist. Falls r′(t) an einigen Stellen verschwindet, ist s(t) dort nicht streng monoton; dann wird die Parametrisierung meist nur segmentweise oder unter Regularisierung geführt.

Anwendungen finden sich in der Geometrie, Computergrafik, Robotik und der Kurven- bzw. Flächenmodellierung, wo eine gleichmäßige Abtastung oder intrinsische Größenberechnung im Vordergrund steht.