Geradenparametrisierung

Geradenparametrisierung bezeichnet die Darstellung einer Geraden als Bild einer reellen Parameterlinie durch eine Vektorfunktion r(t). Typisch ist die Form r(t) = p + t v, wobei p ein Punkt der Geraden ist und v ≠ 0 ihr Richtungsvektor. Der Parameter t gibt an, wie weit man entlang der Geraden von p aus in Richtung v geht. Diese Darstellung ist in vielen Anwendungen besonders praktisch, da sie eine klare Verbindung zwischen Punkt, Richtung und Abstand herstellt.

In der Ebene R^2 lautet die Parametrisierung beispielhaft r(t) = (x0, y0) + t (a, b). In Raum R^3 erweitert sie sich zu r(t) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c). Aus zwei gegebenen Punkten P und Q erhält man die Gerade durch P und Q durch r(t) = P + t (Q − P); hier entspricht t=0 dem Punkt P und t=1 Punkt Q.

Verknüpfung mit der kartesischen Gleichung: Aus der Parametrisierung lassen sich die Koordinaten x(t) = x0 + a t, y(t) = y0 + b t (und z(t) = z0 + c t in Raum) ableiten. Durch Eliminieren von t ergibt sich je nach Fall eine Gleichung der Geraden, zum Beispiel in der Ebene bei a ≠ 0 und b ≠ 0: (x − x0)/a = (y − y0)/b. Falls einer der Richtungskoordinaten null ist, führt dies zu einer einfachen Gleichung wie x = x0 oder y = y0.

Eigenschaften: Eine Gerade besitzt unendlich viele Parametrisierungen; verschiedene Wahl von p, v oder eine affine Änderung des Parameters t (z. B t' = α t + β mit α ≠ 0) beschreibt dieselbe Gerade. Parametrisierung ist eine flexible, aber nicht eindeutige Repräsentation.

Anwendungen finden sich in Geometrie, Computergrafik und CAD.