Richtungsvektor

Ein Richtungsvektor beschreibt die Richtung einer Geraden oder einer Bewegungslinie in einem Vektorraummodell. Er ist ein nicht-null-Vektor, der parallel zur Geraden verläuft. In zwei Dimensionen schreibt man ihn häufig als v = (vx, vy); in drei Dimensionen als v = (vx, vy, vz).

Richtungsvektor und Gerade: Eine Geradengleichung mit einem Stützpunkt p0 und Richtungsvektor v lautet L: p(t) = p0 + t v, mit t ∈ R. Verschiedene Vektoren, die durch Multiplikation mit einer nicht-null Zahl zueinander skaliert werden, geben dieselbe Richtung an; dieselbe Gerade erhält man also mit jedem Vielfachen von v. Das Verhältnis von Richtung und Ort ist damit getrennt: der Richtungsvektor bestimmt die Orientierung, der Stützpunkt die Lage.

Aus zwei Punkten lässt sich v einfach bestimmen: gegeben P1 und P2, ist v = P2 − P1. Einheitsrichtung: der Einheitsrichtungsvektor u = v / ||v||, sofern ||v|| ≠ 0.

Eigenschaften und Anwendungen: Der Richtungsvektor ist unabhängig vom Startpunkt des Vektorraums; anders orientierte Richtungen (negatives Vorzeichen) definieren die Gegenrichtung, beschreiben aber dieselbe Gerade. Der Richtungsvektor wird in Parametrisierungen, in der Beschreibung von Bewegungen (Geschwindigkeit) sowie in der Grafik und Physik genutzt. Zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Richtungen dient der Skalarprodukt: cos θ = (v · w) / (||v|| ||w||). In der Ebene lässt sich aus einem Richtungsvektor auch eine Normalenrichtung ableiten, z. B. durch (-vy, vx).

Beispiel: Eine Gerade durch P = (1, 2) mit Richtungsvektor v = (3, 4) ist L: p(t) = (1, 2) + t (3, 4).