oppervlaktebehoud

Oppervlaktebehoud is de eigenschap dat de oppervlakte van een gebied onveranderd blijft onder een transformatie. Het wordt vaak bestudeerd in de wiskunde en heeft toepassingen in natuurkunde, meetkunde en computerwetenschappen.

In wiskundige termen: laat f een differentieerbare kaart zijn van een gebied in het vlak naar zichzelf. Dan is f oppervlaktebehoudend als het absolute waarde van de determinant van de Jacobiaan van f gelijk is aan 1 voor alle punten: |det Df(x)| = 1. In dat geval behoudt elk meetbaar gebied zijn oppervlakte onder de transformatie.

Enkele voorbeelden: vertalingen, rotaties en spiegels behouden altijd de oppervlakte. Ook eenvoudige transformaties met determinant 1, zoals een schematische versetting (shear), behouden de oppervlakte. Schalen met factor s veranderen de oppervlakte met s^2, zodat zo’n transformatie geen oppervlaktebehoudende is tenzij s = 1.

In dynamische systemen en natuurkunde komt oppervlaktebehoud vaak voor. Incompressibele stromingen behouden bijvoorbeeld de oppervlakte in twee dimensies, en in Hamiltoniaanse systemen blijft in de fase-ruimte de ruimte-omvang behouden (Liouville’s theorema). Daarbinnen komen oppervlaktebehoudende maps vaak voor als duidelijke modellen van tijdevolutie.

Toepassingen en relevantie: kaartkunde maakt gebruik van equal-area projecties om oppervlakten op aarde trouw weer te geven; in computergraphics en simulaties worden oppervlaktebehoudende transformaties gebruikt om onbedoelde vervorming tegen te gaan; in wiskundige theorie helpt het bij het bestuderen van dynamische systemen en symplectische structuren. In drie dimensies spreekt men doorgaans over volumebehoud.