nummerserier

Een nummerserie is een wiskundig begrip dat op twee manieren kan voorkomen: als een getallenreeks en als een reeks (of serie) van getallen die bij elkaar opgeteld wordt. In de eerste betekenis gaat het om een oneindige volgorde van getallen a1, a2, a3, …, vaak beschreven door een formule voor de n-de term a_n. In de tweede betekenis gaat het om de som van de eerste n termen, S_n = a1 + a2 + … + a_n, en de zogenaamde oneindige reeks, die men bekijkt door de limiet van S_n te nemen als n naar oneindig gaat.

Een getallenreeks of getallenreeks is een rij getallen die op een regelmatige manier kan worden beschreven. Voorbeelden zijn de natuurlijke getallen a_n = n, de even getallen a_n = 2n, of een rij met een vaste relatie tussen opeenvolgende termen. Een reeks kan een patroon volgen zoals een lineair of een exponentieel patroon, maar niet elke reeks heeft een bekende gesloten uitdrukking voor a_n.

Veel voorkomende typen nummerseries zijn:

- Lineaire (aftakkende) reeksen: a_n = a1 + (n-1)d, met bijbehorende som S_n = n/2 (2a1 + (n-1)d).

- Geometrische reeksen: a_n = a1 r^(n-1), met S_n = a1 (1 - r^n)/(1 - r) voor r ≠ 1. De oneindige geometrische reeks convergeert naar a1/(1 - r) wanneer |r| < 1.

Convergentie en divergering zijn cruciale eigenschappen. Voor reeksen met niet-negatieve termen gelden criteria zoals de som van 1/n^p (p-series), die convergeert als p > 1 en divergeert voor p ≤ 1. De harmonic series (p = 1) divergeert. In een reeks draait het dus om de mogelijkheid om een limiet te laten bestaan.

In toepassingen komen nummerseries voor in analyse, toekenning van waarden aan functies via seriesuitbreidingen, en in de modellering van schok- of fluctuatiepatronen in data.