normgroepen

Normgroepen zijn subgroepen van een groep G die invariant zijn onder conjugatie: voor elk g in G geldt gNg^{-1} = N. Een equivalente voorwaarde is dat gN = Ng voor alle g in G. Een normgroep is ook de kern van een homomorfisme: N is normaal in G als en slechts als er een groep H en een homomorfisme φ: G → H bestaat met N = ker φ. Dit maakt de begrippen normaliteit en quotienten gedefinieerd.

Eigenschappen en constructies: De verzameling van normgroepen in G vormt een deelstructuur met de Eigenschap dat de doorsnede van normgroepen normaal is en het product NM normaal in G is wanneer N en M normaals zijn. In een abelse groep zijn alle subgroepen normaal. Het centrum Z(G) is altijd normaal. De commutatorgroep [G,G] is normaal en G/[G,G] noemt men de abelse afleiding van G; deze quotiënt geeft de grootste abelse quotient van G.

Quotiënten en toepassingen: Als N normaal is in G, kan men de quotientgroep G/N vormen met cosetten als elementen en met de bewerking (aN)(bN) = (ab)N. De projectie π: G → G/N is een surjectieve homomorfisme met ker π = N. Normale ondergroepen komen overeen met congruenties op G en met regelingen voor de symmetrie van G op verschillende niveaus.

Voorbeelden: In een abelse groep is elke subgroep normaal. Het centrum Z(G) is normaal; bovendien is de kernel van elke groepshomomorfisme altijd normaal. De quotient G/[G,G] geeft de abelse structuur van G en speelt een centrale rol in de studie van de structuur van groepen.