linkfunctie

Een linkfunctie (Engels: link function) is in de statistiek een functie die de verwachtingswaarde van een responsvariabele Y koppelt aan de lineaire voorspeller η = Xβ in een generalized linear model (GLM). De linkfunctie g bepaalt hoe μ = E[Y|X] wordt gekoppeld aan η via μ = g^{-1}(η). Door deze koppeling kunnen responsvariabelen met verschillende verdelingen worden gemodelleerd met een lineaire combinatie van predictoren.

Belangrijke eigenschappen zijn onder meer dat de linkfunctie monotone en differentiërbaar is en invertibel op het relevante domein, zodat η kan worden omgezet naar μ en omgekeerd. In veel toepassingen wordt de linkfunctie gekozen zodat de inverse map duidelijke interpretaties oplevert voor de modeluitkomsten.

Veelgebruikte linkfuncties zijn onder andere de identiteitslink (g(μ) = μ) bij de normale verdeling, de log-link bij Poisson-verdelingen, de logit-link bij binomiale verdelingen, en ook probit- of cloglog-links afhankelijk van de veronderstelde verdeling en vorm van de data. De canonieke link is de link waarbij de lineaire voorspeller gelijk is aan de natuurlijke parameter van de exponentiële familie; bijvoorbeeld identiteitslink voor Gaussian, log-link voor Poisson en logit-link voor binomiaal.

Interpretatie en toepassing: de coëfficiënten β worden geschat op de schaal van de lineaire predictor η; om interpretatie op de schaal van de verwachtingswaarde μ te krijgen, gebruikt men de inverse link g^{-1}. Estimatie gebeurt meestal via maximum likelihood, vaak met iteratively reweighted least squares (IRLS), waarbij gewichten afhankelijk zijn van de afgeleide van de link en de variantiefunctie van μ.

Historisch gezien vormt de linkfunctie een kernonderdeel van het GLM-kader, dat in de literatuur is uitgewerkt door McCullagh en Nelder en sindsdien breed toegepast in statistische modellering.