komplexfunktionen

Komplexfunktionen sind Funktionen, deren Definitionsbereich und Wertebereich Teilmengen der komplexen Zahlen sind. Die einfachste Form ist eine Funktion von einer komplexen Variablen zu einer komplexen Variablen, also f: D ⊆ ℂ → ℂ. Dies unterscheidet sie von reellen Funktionen, die reelle Zahlen als Eingabe und Ausgabe verwenden.

Die Untersuchung von komplexen Funktionen ist ein zentrales Thema in der mathematischen Disziplin der Funktionentheorie. Eine der wichtigsten Eigenschaften komplexer Funktionen ist ihre Differenzierbarkeit im komplexen Sinne, was als Holomorphie bezeichnet wird. Holomorphe Funktionen sind unendlich oft differenzierbar und besitzen eine Taylor-Entwicklung, was sie im Vergleich zu reell differenzierbaren Funktionen sehr "glatt" macht.

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen sind ein notwendiges Kriterium für die Holomorphie einer komplexen Funktion. Wenn eine Funktion f(z) = u(x, y) + iv(x, y), wobei z = x + iy, in einem Punkt komplex differenzierbar ist, dann müssen die partiellen Ableitungen von u und v die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllen: ∂u/∂x = ∂v/∂y und ∂u/∂y = -∂v/∂x.

Viele Konzepte aus der reellen Analysis, wie Grenzwerte, Stetigkeit und Integration, haben direkte Entsprechungen für komplexe Funktionen. Die Integration entlang von Kurven im komplexen Zahlenraum spielt eine entscheidende Rolle, insbesondere im Zusammenhang mit dem Cauchyschen Integralsatz und dem Cauchyschen Integralsatz. Diese Sätze haben tiefgreifende Konsequenzen für die Eigenschaften holomorpher Funktionen. Komplexfunktionen finden Anwendungen in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften, darunter Strömungsmechanik, Elektrodynamik und Signalverarbeitung.