hiperplanos

Un hiperplano es una subvariedad afín de dimensión n−1 en un espacio vectorial n-dimensional. En el espacio euclidiano R^n, se describe como el conjunto de puntos x que satisfacen una ecuación lineal a^T x = b, donde a es un vector normal no nulo y b es un escalar. Si b = 0, el hiperplano pasa por el origen y es también un subespacio lineal. En R^2, un hiperplano es una recta; en R^3, un hiperplano es un plano.

El hiperplano divide el espacio en dos semiespacios: {x | a^T x > b} y {x | a^T x < b}. La distancia de un punto x al hiperplano se calcula como |a^T x − b| / ||a||. La frontera del conjunto es precisamente el propio hiperplano.

En geometría y álgebra lineal, los hiperplanos permiten estudiar la separación de conjuntos y la proyección de puntos. En n dimensiones, un hiperplano es de tamaño n−1; existen infinitos hiperplanos que pueden contener un punto dado al elegir adecuadamente el vector normal a y el desplazamiento b.

En aprendizaje automático y optimización, los hiperplanos sirven como fronteras de decisión para clasificadores lineales. Un modelo lineal intenta encontrar un hiperplano que separe clases; ejemplos incluyen el perceptrón y las máquinas de vectores de soporte. En problemas de optimización lineal, las restricciones a menudo se expresan mediante hiperplanos.

Notas: un hiperplano es afín y no necesita pasar por el origen, a diferencia de un subespacio lineal. En geometría proyectiva y computación, los hiperplanos generalizan a componentes de codimensión 1 en espacios de mayor dimensión.