dichtheidsnoties

Dichtheidsnoties verwijzen naar verschillende concepten in de wiskunde die de “dichtheid” van verzamelingen en ruimten meten. De meest centrale is de dichtheid d(X) van een topologische ruimte X: het kleinste kardinaal κ waarvoor er een dichte subset D ⊆ X bestaat met |D| = κ. Een ruimte is separeerbaar als d(X) = aleph0 (de telbare kardinaliteit). Dichtheid geeft aan hoe klein een verzamelingspuntenset kan zijn terwijl zij toch een ruimte als geheel kan nabootsen.

De dichtheid kan ook worden toegepast op deelruimten. Voor een subruimte A ⊆ X geldt dat A dicht in X kopen wordt als er D ⊆ A bestaat met cl_A(D) = A; vaak wordt de dichtheid van A gedefinieerd als de kleinste κ waarvoor zo’n D bestaat. Zo is A separeerbaar als d(A) = aleph0.

Voorbeelden illustreren de noties: R met de gebruikelijke topologie is separeerbaar, want Q is dicht in R en d(R) = aleph0. Ruimten die niet separeerbaar zijn, hebben vaak d(X) ≥ continuark. Invarianties: de dichtheid staat in relatie tot andere kardinale invarianten zoals het gewicht w(X) (de kleinste grootte van een basis). In het algemeen geldt d(X) ≤ w(X) en w(X) ≤ 2^{d(X)}.

Naast topologische dichtheid bestaan er ook andere “dichtheid”-noties in verschillende gebieden. In getaltheorie is naturalede dichtheid of asymptotische dichtheid van een verzameling van natuurlijke getallen standaard, en er bestaan varianten zoals Schnirelmann-dichtheid, Banach-dichtheid en logaritmische dichtheid, die de frequentie van voorkomen meten op verschillende niveaus.

Samengevat vormen dichtheidsnoties een familie invarianten die de grootte en structuur van dichte verzamelingen en ruimten beschrijven, en vormen zij een brug tussen topologie, analyse en, in bredere zin, getaltheorie.