conicas

Las conicas, o secciones cónicas, son curvas obtenidas al cortar un cono doble por un plano. El tipo de curva depende de la inclinación del plano respecto al eje; un corte perpendicular al eje produce una circunferencia (caso especial de la elipse), cortes menos inclinados generan elipses, cortes que son paralelos a una generatriz dan parábolas y cortes que atraviesan ambos nappes producen hipérbolas. También pueden aparecer formas degeneradas, como un punto, una recta o dos rectas que se cruzan.

En la geometría analítica, toda conica puede describirse mediante una ecuación de segundo grado en dos variables: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0. Su discriminante Δ = B^2 - 4AC clasifica el tipo: Δ < 0 corresponde a una elipse (incluida la circunferencia cuando A = C y B = 0); Δ = 0 a una parábola; Δ > 0 a una hipérbola. Si se permiten rotaciones, pueden escribirse también en formas canónicas con ejes alineados.

Formas canónicas sin rotación: circunferencia (x − h)^2 + (y − k)^2 = r^2; elipse (x − h)^2/a^2 + (y − k)^2/b^2 = 1; parábola vertical (y − k) = a(x − h)^2 o (x − h)^2 = 4p(y − k); hipérbola (x − h)^2/a^2 − (y − k)^2/b^2 = 1. Con rotaciones, aparecen ecuaciones con el término B distinto de cero.

Propiedades y aplicaciones: la elipse es el lugar geométrico de puntos para los que la suma de distancias a dos focos es constante; la parábola presenta la propiedad foco–directriz; la hipérbola mantiene la diferencia de distancias a dos focos constante. Históricamente, Apolonio de Perga desarrolló las secciones cónicas; hoy tienen uso en óptica, astronomía, ingeniería y diseño de trayectorias.