parábola

Una parábola es la curva plana que resulta del lugar de puntos equidistantes de un foco fijo y de una recta fija, la directriz. Es una cónica que puede verse como la intersección de un cono con un plano paralelo a una de sus generatrices. Su eje es la recta que pasa por el foco y el vértice y es su única línea de simetría. Su abertura depende de la distancia entre foco y directriz.

Formas y ecuaciones: si el eje es vertical, la parábola se escribe como y = a (x - h)^2 + k, con vértice en (h, k). Su foco es (h, k + p) y la directriz y = k - p, donde p = 1/(4a). Si el eje es horizontal, se escribe x = a (y - k)^2 + h, con vértice (h, k), foco (h + p, k) y directriz x = h - p, con p = 1/(4a). En la forma canónica x^2 = 4 p y, el foco es (0, p) y la directriz es y = -p.

La eccentricidad de la parábola es 1. Una propiedad clave es su relación reflectante: una recta paralela al eje que incide sobre la parábola se refleja con dirección hacia el foco, y viceversa. Esto la hace útil en óptica y en telecomunicaciones.

Ejemplos y usos: la curva y = x^2 es una parábola con vértice en el origen que abre hacia arriba. En óptica, telecomunicaciones y diseño, las parábolas se utilizan en reflectores, antenas parabólicas, faros y lentes, así como en problemas de trayectoria y arquitectura.