commutativiteit

Commutativiteit, ook wel commutativiteit genoemd, is een eigenschap van een binaire bewerking op een verzameling. Een binaire bewerking ∘ op een verzameling S is commutatief als de orde waarmee twee elementen a en b uit S worden toegepast geen verschil maakt: voor alle a, b in S geldt a ∘ b = b ∘ a. Deze eigenschap betekent dat de volgorde van de operands kan worden omgewisseld zonder dat de uitkomst verandert.

Veel voorkomende voorbeelden zijn het optellen en vermenigvuldigen van getallen. Voor elke getallen a en b geldt a + b = b + a en a · b = b · a. Niet-voorbeelden zijn onder meer aftrekken en delen, waarbij a − b meestal niet gelijk is aan b − a. Ook matrixvermenigvuldiging is doorgaans niet commutatief: voor matrices A en B geldt in het algemeen AB ≠ BA, hoewel er uitzonderingen bestaan waarin twee matrices wel commuteren.

In de algebra ontstaan uit commutativiteit verschillende gestructureerde klassen. Een verzameling met een commutatieve binaire bewerking die associatief is en een identiteit heeft, noem je een abelse semigroep of, met identiteit, een abelse monoid; met invloeden is het een abelse groep. In de ringtheorie noemt men een ring commutatief als zowel de optelling als de vermenigvuldiging commutatief zijn. Het concept speelt een sleutelrol in vele takken van de wiskunde; het vereenvoudigt theorie en berekeningen en bepaalt de structuur van vele algebraïsche objecten. Daarnaast is de terme “commutator” [a,b] = ab − ba een maat voor het falen van twee elementen om te commuteren.