semigroep

Een semigroep is in de abstracte algebra een niet-lege verzameling S met een binaire bewerking ·: S × S → S die associatief is: voor alle a, b en c in S geldt (a · b) · c = a · (b · c). Een semigroep hoeft geen identiteit of inverses te bevatten.

Een monoid is een semigroep met een identiteit element e in S dat voor elk element a in S geldt dat e · a = a · e = a. Een groep vereist naast associativiteit ook een identiteit en inverses voor elk element. Zo leveren monoid- en groep-structuren aanvullende eigenschappen op die in verschillende contexten nuttig zijn.

Voorbeelden: de natuurlijke getallen onder optelling vormen een monoid; de verzameling van alle woorden over een alfabet met concatenatie is een monoid, waarbij de lege string als identiteit fungeert; de verzameling van alle functies van een verzameling naar zichzelf onder samenstelling is een semigroep, en als er een identiteit-functie aanwezig is, een monoid.

Varianten en begrippen: een subsemigroup is een niet-lege onderverzameling die gesloten is onder de bewerking; een homomorfisme f: S → T behouden de structuur, zodat f(a · b) = f(a) · f(b). Een nul-element 0 in een semigroep annuleert alle elementen (a · 0 = 0 · a = 0). Semigroepen vinden toepassing in computerwetenschap, formele talen en algebraïsche theorieën; ze vormen een fundament voor de theorie van automata en syntactische semigroepen.