onderverzameling

Onderverzameling, ook wel subset genoemd, is een fundamenteel begrip in de verzamelingenleer. Gegeven een verzameling A is een verzameling B een onderverzameling van A als elk element van B ook een element van A is. Notatie: B ⊆ A. Een juiste onderverzameling is B ⊆ A en B ≠ A; vaak wordt hiervoor ook de notatie B ⊂ A gebruikt, al verschilt de betekenis per bron.

Voorbeelden: als A = {1, 2, 3} en B = {1, 2}, dan is B een onderverzameling van A en bovendien een juiste onderverzameling. De verzameling {1, 4} is geen onderverzameling van A.

Eigenschappen: elke verzameling is een onderverzameling van zichzelf (A ⊆ A). De lege verzameling ∅ is een onderverzameling van elke verzameling. De verzameling van alle onderverzamelingen van A heet de machtverzameling (P(A)). Als A n elementen heeft, dan heeft P(A) precies 2^n elementen.

Verwijdering en combinatie: A ∪ B is de vereniging, A ∩ B de doorsnede, A \ B het verschil (elementen van A die niet in B zitten). Het complement van A ten opzichte van een universum U is U \ A.

Relaties: ⊆ is een partiële ordening van verzamelingen omdat zij reflexief, antisymmetrisch en transitief is. De onderverzamelingrelatie vormt daarmee een fundament voor grafische representaties zoals Venn-diagrammen en voor veel wiskundige bewijsstrategieën.