bifuratiepunt

Een bifuratiepunt, in de context van dynamische systemen, is een waarde van een besturingsparameter waarbij de kwalitatieve dynamiek van het systeem verandert. Bij zo’n punt kan het aantal of de stabiliteit van evenwichten of periodieke banen plots veranderen. Vaak wordt een afbeelding van de afhankelijkheid van het gedrag van het systeem van de parameter getoond in een bifurcatiediagram.

In continue tijd, aangedreven door een systeem van differentiaalvergelijkingen x' = f(x, μ), ontstaan bifurcaties wanneer een evenwichtspunt x* (waar f(x*, μ) = 0) verandert van stabiliteit of wanneer het aantal evenwichten wijzigt bij een kritieke parameterwaarde μ*. Lokale bifurcatiekenmerken worden vaak geïllustreerd door de Jacobiaan Df(x*, μ*) en de posities van zijn eigenwaarden; veranderingen zoals eigenwaarden die langs de imaginaire as bewegen geven de aard van de bifurcatie weer.

Enkele veel voorkomende een-parameter-bifurcaties zijn:

- Saddle-node (fold): twee evenwichten komen samen en verdwijnen.

- Transcritieke bifurcatie: stabiliteit en bestaan wisselen tussen twee evenwichten.

- Pitchfork-bifurcatie: symmetrisch optreden waarbij een stabiel evenwicht verandert in onstabiel terwijl twee nieuwe stabiele evenwichten ontstaan (of omgekeerd).

- Hopf-bifurcatie: een stabiel evenwicht verliest stabiliteit en er ontstaat een kleine limietcyclus.

In discrete tijd of kaartsystemen kan een gelijkaardige analyse leiden tot bifurcaties zoals eenperiodieke beweging (period-doubling) of flips, afhankelijk van de parameterwaarde.

Bifurcatiepunten zijn fundamenteel voor het begrip van plotselinge overgangs­verschijnselen in natuur-, technische en biologische systemen en vormen de kern van de bifuratietheorie.