afgeleidbare

Afgeleidbaar is een wiskundige eigenschap van functies die betrekking heeft op het bestaan van de afgeleide. In de Nederlandse wiskunde komt de term vaak voor naast termen als afgeleide en afleidbaarheid. De eigenschap beschrijft of een functie een afgeleide heeft in een punt of op een interval.

Formeel: een functie f gedefinieerd op een interval I is afgeleidbaar in een punt x0 ∈ I als de limiet lim_{h→0} (f(x0+h) - f(x0))/h bestaat en een waarde f'(x0) oplevert. Als die limiet bestaat voor elk x in I, dan noemen we f afgeleidbaar op I (oftewel differentiabel op I).

Eigenschappen: als f afgeleidbaar is op I, dan is f op I continu. De afgeleide f' hoeft echter niet noodzakelijk continu te zijn; differentiatie kan leiden tot een afgeleide die kleine sprongen maakt. Wel voldoet f' aan het Darboux-eigenschap: het bereik van f' op een interval heeft meestal het tussenwaardevraag, ook als f' niet continue is.

Voorbeeld: f(x) = x^2 is afgeleidbaar op heel R met f'(x) = 2x. Een niet-afgeleidbare functie is f(x) = |x| in x = 0, waar de linker- en rechterafgeleide niet overeenkomen.

Hoger orde: als f' ook afgeleidbaar is, bestaat f'' en zo verder. In contexten met meerdere variabelen spreekt men soms van differentieerbaarheid in plaats van afgeleidbaarheid; de concepten hangen nauw samen met de existence van de partiële afgeleiden en de differentiabiliteit van de functie.