Wahrscheinlichkeitsbereiche

Wahrscheinlichkeitsbereiche bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie Teilmengen der Ergebnismenge, für die eine Wahrscheinlichkeit festgelegt wird. Sie dienen dazu, die Wahrscheinlichkeit zu quantifizieren, dass eine Zufallsvariable in einem bestimmten Teilbereich ihres Wertebereichs liegt. Ein Wahrscheinlichkeitsbereich wird oft als Intervall beschrieben, kann aber auch aus diskreten Ergebnissen bestehen.

Im diskreten Fall ist X eine diskrete Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = x_i). Für einen Bereich a ≤ X ≤ b gilt P(a ≤ X ≤ b) = Σ P(X = x_i) über alle x_i in {a, ..., b}. Allgemeiner gilt P(X ∈ A) für eine Teilmenge A des Wertebereichs.

Im stetigen Fall hat X eine Wahrscheinlichkeitsdichte f(x). Die Wahrscheinlichkeit, dass X in das Intervall [a, b] fällt, ergibt sich durch P(a ≤ X ≤ b) = ∫_{a}^{b} f(x) dx. Die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) ermöglicht P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a). Für exakte Werte ist die Wahrscheinlichkeit bei stetigen Zufallsvariablen null.

Beispiele verdeutlichen den Unterschied: Bei Würfen mit einem fairen Würfel ist P(1 ≤ X ≤ 3) = 3/6 = 0,5. Eine normalverteilte Variable X mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1 hat P(-1 ≤ X ≤ 1) ≈ 0,6827.

Wahrscheinlichkeitsbereiche stehen in engem Zusammenhang mit Verteilungen, Dichtefunktionen und Verteilungsfunktionen und werden genutzt, um Unsicherheit zu modellieren, Toleranzen abzuschätzen oder Konfidenz- bzw. Entscheidungsbereiche zu definieren.