Wahrscheinlichkeitsbereich

Wahrscheinlichkeitsbereich bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie die Menge der Werte, die ein Zufallsvariable X mit einer nicht verschwindenden Wahrscheinlichkeit annehmen kann. Formal ist X ein Abbild aus dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω in den Zahlenbereich, und X(Ω) ist die Bildmenge oder Wertemenge von X. Der Begriff wird auch als Träger oder Unterstützung der Wahrscheinlichkeitsverteilung verwendet.

Der Wahrscheinlichkeitsbereich hängt von der Art der Zufallsvariable ab. Bei diskreten Zufallsvariablen ist er meist endlich oder abzählbar unendlich; bei stetigen Zufallsvariablen handelt es sich häufig um ein Intervall oder eine Vereinigung von Intervallen. Wichtig ist, dass Werte außerhalb des Wahrscheinlichkeitsbereichs keinerlei Wahrscheinlichkeit haben, während Werte innerhalb des Bereichs unterschiedlich wahrscheinlich sein können.

Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten nutzt man den Wahrscheinlichkeitsbereich als Grundlage. Die Wahrscheinlichkeit, dass X in eine Menge A fällt, ergibt sich durch P(X in A) = Summe der Wahrscheinlichkeiten P(X = x) über alle x im A, die im Wahrscheinlichkeitsbereich liegen, falls X diskret ist. Bei stetigen X verwendet man eine Dichte f_X und erhält P(X in A) = Integral über A von f_X(x) dx. In beiden Fällen bezieht sich die Rechnung auf den Wahrscheinlichkeitsbereich.

Beispiele verdeutlichen die Idee. X sei die Anzahl der Kopf bei drei Münzwürfen; der Wahrscheinlichkeitsbereich ist {0, 1, 2, 3}. Y sei eine Zufallsvariable mit der Verteilung Uniform von 0 bis 1; der Wahrscheinlichkeitsbereich ist [0, 1], wobei P(Y = x) für jedes einzelne x gleich null ist, aber die Dichte positiv ist.

Der Wahrscheinlichkeitsbereich unterscheidet sich vom zugrunde liegenden Ereignismenge Ω; er beschreibt die Werte von X, während Ω die Grundexperimente umfasst. Der Begriff hilft beim Verständnis von Verteilungen und beim Transit von Ereignissen zu Wahrscheinlichkeiten.