Verteilungsverhalten

Verteilungsverhalten bezeichnet die charakteristische Verteilung eines Zufallsvariables, also die Art, wie Wahrscheinlichkeiten auf Werte oder Wertebereiche verteilt sind. Es umfasst die Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. -masse, die kumulative Verteilungsfunktion und weitere Kenngrößen, die Lage, Streuung und Form der Verteilung beschreiben.

Zu den zentralen Merkmalen gehören Lageparameter (z. B. der Erwartungswert), Streuung (Varianz, Standardabweichung), Formparameter wie Schiefe und Wölbung sowie die Modalität (unimodal oder multimodal). Ebenso spielt das Verhalten der Verteilung an den Randbereichen eine wichtige Rolle, insbesondere bei schweren oder leichten Enden der Verteilung. Verteilungsverhalten hängt von Modellannahmen, Parametern und Beobachtung ab.

In der Statistik werden verschiedene Verteilungsfamilien genutzt, um Daten zu beschreiben oder Modelle zu erstellen. Häufige Beispiele sind Normal-, Exponential-, Gamma-, Binomial-, Poisson-, Lognormal- und Pareto-Verteilungen. Manche Verteilungen eignen sich besser, schwere Enden abzubilden; andere erleichtern analytische Arbeiten, etwa die Normalverteilung aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes.

Empirisch wird das Verteilungsverhalten durch Parameter-Schätzung, Güte der Anpassung, QQ-Plots und Dichteschätzungen untersucht. Nichtparametrische Verfahren nutzen die empirische Verteilungsfunktion oder Kernel-Dichteschätzungen, um Muster ohne festes Modell abzubilden.

Das Verständnis des Verteilungsverhaltens ist grundlegend für statistische Inferenz, Vorhersage, Risikoanalyse und Entscheidungsfindung. Theoretische Ergebnisse wie das Gesetz der großen Zahlen, der zentrale Grenzwertsatz oder die Extremwerttheorie geben Einblicke in das Verhalten von Summen oder Extremereignissen.