ParetoVerteilungen

ParetoVerteilungen bezeichnet eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die nach Vilfredo Pareto benannt ist und häufig verwendet wird, um Werte mit einer schweren, power-law-Taille abzubilden. Die bekannteste Form ist die Pareto-Verteilung (Pareto I), die in vielen Anwendungsgebieten als einfache Modellannahme dient.

Die Pareto-Verteilung I hat Parameter xm > 0 (Skalierung) und alpha > 0 (Form). Ihre Verteilungsfunktion lautet F(x) = 1 − (xm/x)^alpha für x ≥ xm, und die Wahrscheinlichkeitsdichte ist f(x) = alpha · xm^alpha / x^(alpha+1) für x ≥ xm. Der Ursprung der Verteilung liegt bei xm, wodurch Werte kleiner als xm unmöglich sind.

Bezüglich Momente besitzt die Pareto-Verteilung I das Erwartungsmaß nur, wenn alpha > 1, und die Varianz existiert nur für alpha > 2. Die tail-Region verhält sich wie P(X > x) ≈ (xm/x)^alpha für große x, was eine schwere Tail charakterisiert. Aufgrund der langen Schwanzkante nimmt die Wahrscheinlichkeit extremer Werte langsamer ab als bei vielen anderen Verteilungen.

Eine verbreitete Variante ist die Pareto-II-Verteilung (Lomax-Verteilung) mit F(x) = 1 − (1 + x/xm)^−alpha für x ≥ 0 und f(x) = alpha · xm^alpha / (xm + x)^(alpha+1). Sie verschiebt den Ursprung nach 0 und hat ähnliche Momentenbedingungen wie Pareto I.

Anwendungen finden Pareto-Verteilungen in Wirtschaft und Soziologie (Einkommen, Vermögen, Stadtgrößen), Informatik (Dateigrößen), Zuverlässigkeitstechnik und Risikomanagement. Parameter werden meist per Maximum-Likelihood-Schätzung oder Methode der Momente geschätzt; Goodness-of-Fit-Checks erfolgen häufig via Q-Q-Plot oder Kolmogorov-Smirnov-Test. Generalisierte Pareto-Modelle werden auch für Peaks-over-Threshold-Ansätze verwendet.