Variëteitentheorie

Variëteitentheorie is een tak van de algebraïsche meetkunde die zich bezighoudt met algebraïsche variëten, wiskundige objecten die ontstaan als oplossingsets van systemen polynoomvergelijkingen. Meestal wordt gewerkt over een veld k, vaak algebraïsch afgesloten zoals C. In de klassieke theorie bestaat er onderscheid tussen affine variëten en projectieve variëten.

Een affine variëteit V in de ruimte A^n over k wordt gegeven als de verzameling van oplossingen van een ideaal I ⊂ k[x1, ..., xn]. De coördinatenring k[V] = k[x1, ..., xn]/I beschrijft de regelmatige functies op V. Een projectieve variëteit bevindt zich in projectieve ruimte P^n en wordt beschreven door homogene polynoomvoorwaarden. Bij variëten wordt vaak studie gedaan naar eigenschappen als irreducibiliteit, dimensie en singulariteiten; de dimensie is gelijk aan de Krull-dimensie van k[V].

Morfismen tussen variëten worden gegeven door polynoombeelden; men onderzoekt ook rationele kaarten en morfismen, die leiden tot beeld en eigenschappen. Twee variëten zijn birationaal-equivalent wanneer hun functievelden k(V) en k(W) isomorf zijn; dit betekent dat ze dezelfde verzameling van functies delen. Concepten zoals gladheid en singulariteiten geven lokaal aan hoe variëteiten buigen of kruisen.

In de moderne wiskunde is de variëteitentheorie beïnvloed door de schema-theorie van Grothendieck, waardoor het gebruikelijker is om variëten te vervangen door meer algemene objecten genaamd variëten of schemata; veel resultaten blijven echter relevant voor de klassieke variëten en voor de intuïtieve beeldvorming.

De theorie vormt een basis voor curven, variëteiten van hogere dimensie, en hun moduli, evenals voor intersectie- en meetkunde. Toepassingen omvatten classificatieproblemen, het begrip van functionele velden en toepassingen in getaltheorie en complexe meetkunde. Variëteitentheorie is een centraal onderdeel van algebraïsche geometrie en heeft invloed op meerdere wiskundige disciplines.