Transponeringen

Transponeringen verwijst naar handelingen waarbij iets wordt getransponeerd: systematisch aangepast door een vast patroon of interval, zodat onderlinge relaties behouden blijven terwijl sommige absolute waarden veranderen. Het begrip komt voor in verschillende vakgebieden, maar de twee meest gangbare betekenissen zijn muziek en lineaire algebra. In beide contexten draait het om een consistente omkering of verschuiving.

In de muziek is transponeren het verplaatsen van elke toonhoogte met een constant interval, zodat een melodie klinkt in een andere toonaard maar dezelfde muzikale relatie behoudt. Transpositie wordt gebruikt om stukken geschikt te maken voor een zanger met een bepaald bereik of voor een ander instrument. Er bestaan vaste transpositie-instrumenten, zoals bepaalde klarinetten en hoorns, waarbij de geschreven noten een ander klinkende toonhoogte veroorzaken. In partituren onderscheidt men vaak tussen geschreven toonhoogte en klinkende toonhoogte (concertpitch versus geschreven pitch).

In de wiskunde, met name de lineaire algebra, verwijst transponeren naar het nemen van de getransponeerde matrix. De getransponeerde matrix A^T ontstaat door rijen en kolommen te verwisselen: A^T(i,j) = A(j,i). Belangrijke eigenschappen zijn onder meer (A^T)^T = A, (A+B)^T = A^T + B^T, en (AB)^T = B^T A^T. Transponeren verandert de oriëntering van een lineair beeld maar behoudt de kernstructuur, wat nuttig is bij bijvoorbeeld het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen, het analyseren van symmetrie en het ontwikkelen van algoritmes.

Toegepaste onderwerpen omvatten eveneens transposities in gegevensverwerking en programmering, waar matrices en data worden getransponeerd om bepaalde operaties te vergemakkelijken.