getransponeerde

Getransponeerde is het onderwerp of resultaat van transponeren in de lineaire algebra. Het verwijst naar wat ontstaat wanneer de rijen van een matrix, vector of lineaire operator worden omgezet in kolommen (of omgekeerd). In de context van matrices wordt de getransponeerde genoemd A^T of A′, afhankelijk van de gebruikte notatie.

Voor een matrix A met afmetingen m×n is de getransponeerde A^T een matrix met afmetingen n×m, waarbij het element op positie (i,j) van A overeenkomt met het element op positie (j,i) van A^T. Voor een kolomvector wordt door transponeren een rijvector verkregen, en omgekeerd.

Belangrijke eigenschappen: transpositie is een involutie, dat wil zeggen dat (A^T)^T = A. Transpositie distributeert over optelling en houdt rekening met scalairen: (A+B)^T = A^T + B^T en (cA)^T = cA^T. Bij product werkt het omgekeerd: (AB)^T = B^T A^T. Een vierkante matrix is getransponeerd als A^T = A; zulke matrices noemen we symmetrisch.

In complexe matrices wordt vaak gesproken over de getransponeerde in combinatie met complex conversie, namelijk de conjugaat-transponeren (ook wel Hermitische transponeren) A^H of A, wat naast de gewone getransponeerde gebeurt.

Eigenschappen zoals hetzelfde determinant- en rangbehoud gelden onder transpositie voor vierkante matrices; de eigenwaarden blijven en zijn hetzelfde als bij de oorspronkelijke matrix, bij uitzondering van het veld waarin operaties plaatsvinden. Getransponeerde wordt veel toegepast in lineaire systemen, tensorbewerking en bij het veranderen van de basis voor duale ruimtes. Voorbeelden illustreren hoe rijen en kolommen worden verwisseld bij A^T.