Toestandsruimemodellen

Toestandsruimemodellen zijn wiskundige modellen die een dynamisch systeem beschrijven met behulp van toestanden (state variabelen) die de interne toestand vastleggen. De evolutie van deze toestanden wordt beschreven door een toestandvergelijking en de relatie tussen toestanden en meetresultaten door een observatievergelijking. Toestandsruimemodellen worden breed toegepast in techniek, economie en biologie om processen te modelleren die in de tijd veranderen, en om zowel het systeem te simuleren als de toestand te schatten uit meetdata.

In discrete tijd kunnen lineaire toestandsruimemodellen bijvoorbeeld geschreven worden als x_{k+1} = A x_k + B u_k + w_k en y_k = C x_k + D u_k + v_k, waarbij x_k de toestandenvector is, u_k de invoer, y_k de uitvoer, en w_k en v_k respectievelijk proces- en meetruis. In continue tijd zijn vergelijkbare vormen dx/dt = f(x,u,t) en y = h(x,u,t). Het lineaire, tijdinvariante geval wordt vaak genoteerd met matrices A, B, C, D en levert inzicht via de relaties met een transferfunctie.

Toestandsruimemodellen kunnen lineair of niet-lineair zijn, continu of discreet, en deterministisch of stochastisch. Voor schatting en ruismodellering bestaan er technieken als de Kalman-filtervarianten (lineair, uitgebreid, unscented) en particle filters. Modelidentificatie is het proces om de matrices en functies uit data te schatten, wat essentieel is voor afleiding en controle.

Voordelen van toestandsruimemodellen zijn onder meer de mogelijkheid om multi-input‑multi-output systemen te beschrijven, latente toestanden te gebruiken en ruis te modelleren. Ze vormen een kader voor systematische besturing, inspectie van systemen en voorspellende simulaties. Uitdagingen zijn identificeerbaarheid, discretisatie bij continu-tijdsmodellen en het kiezen van de juiste modelorde.