Standardkoordinatsystemen

Standardkoordinatsystemen sind mathematische Ordnungen, die es ermöglichen, Punkte im Raum durch Koordinaten relativ zu einem gewählten Ursprung und zu einem Satz Achsen zu beschreiben. In der Ebene sind die gängigsten Systeme das kartesische Koordinatensystem mit den Koordinaten x und y sowie das Polarkoordinatensystem mit r und phi. In drei Dimensionen kommen kartesische Koordinaten (x, y, z), zylindrische Koordinaten (r, phi, z) und sphärische Koordinaten (rho, theta, phi) zum Einsatz; je nach Fachgebiet können die Namenskonventionen variieren.

Jedes Standardkoordinatensystem besitzt einen Ursprung und Basisvektoren, von denen die Koordinaten die Projektionen des Punktes entlang der jeweiligen Achsen angeben. Die Umrechnung zwischen Systemen erfolgt über Transformationsformeln. In 2D gilt zum Beispiel x = r cos(phi) und y = r sin(phi); r = sqrt(x^2 + y^2) und phi = atan2(y, x). In 3D lauten die gängigen Umrechnungen: kartesisch zu zylindrisch: r = sqrt(x^2+y^2), phi = atan2(y,x), z = z; kartesisch zu sphärisch: rho = sqrt(x^2+y^2+z^2), theta = arccos(z/rho), phi = atan2(y, x).

Standardkoordinatsystemen dienen der Beschreibung von Geometrie, Bewegungen und Messgrößen in Wissenschaft und Technik. Sie finden breite Anwendung in Mathematik, Physik und Ingenieurwesen sowie in Computergraphik, Geoinformationssystemen und Kartografie. Geographische Koordinatensysteme verwenden Breiten- und Längengrade sowie Höhenangaben, während projektive und homogene Koordinaten in Rendering-Pipelines und Robotik genutzt werden.

Die Wahl eines Koordinatensystems hängt von der Problemstruktur, der Symmetrie und den Konventionen ab. Oft werden verschiedene Systeme mittels Transformationsmatrizen oder homogener Koordinaten miteinander verknüpft, wobei Unterschiede in Orientierung (rechts- vs. linksregel) und Einheitensystem berücksichtigt werden müssen.