Polarkoordinatensystem

Das Polarkoordinatensystem ist eine zweidimensionale Koordinatenebene, in der jeder Punkt durch zwei Werte beschrieben wird: r ist der Abstand des Punktes vom Ursprung (dem Pol) und φ ist der Winkel, den die Verbindungslinie vom Ursprung mit dem Punkt mit der positiven x-Achse bildet. Der Ursprung dient als Bezugspunkt, aus dem sich alle Punkte radial und durch Drehen um den Pol beschreiben lassen.

Beziehung zu kartesischen Koordinaten: x = r cos φ und y = r sin φ. Umgekehrt ergibt sich r = sqrt(x^2 + y^2) und φ = atan2(y, x) (Winkel von der x-Achse aus). Üblicherweise wird r ≥ 0 gewählt und φ innerhalb eines Intervalls wie [0, 2π) oder (-π, π]. Negative Werte von r sind mathematisch möglich und bedeuten einen Richtungswechsel um π, erfordern aber eine entsprechende Anpassung von φ.

Verwendung und typische Kurven: Polar koordiniert sich besonders gut für radialsymmetrische Probleme. Eine Kurve lässt sich durch eine Funktion r = f(φ) beschreiben. Beispiele: der Kreis um den Ursprung besitzt r = a (konstant); eine Spiralform wie r = aφ; konische Abschnitte können durch Rationen wie r = l/(1 + e cos φ) dargestellt werden. Flächenberechnungen verwenden oft die Flächenmaßformel dA = r dr dφ.

Weiteres: In der 3D-Geometrie werden Polar- Koordinaten durch z ersetzt oft durch z, und mit r, φ spricht man dann von zylindrischen Koordinaten (r, φ, z). Die Transformationen zwischen Polar- und Kartesischkoordinaten sind zentral für viele Berechnungen und grafische Darstellungen.