Transformationsmatrizen

Transformationsmatrizen sind Matrixdarstellungen linearer Transformationen. Eine lineare Transformation T: V → W zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen lässt sich durch eine Matrix darstellen, wenn Basen von V und W gewählt werden. Sei β eine Basis von V und γ eine Basis von W. Die Matrix A = [T]_{β}^{γ} erfüllt für jeden Vektor v ∈ V mit Koordinaten [v]_{β} die Gleichung [T(v)]_{γ} = A [v]_{β}. In vielen Fällen wird V = W = R^n gewählt, und T wird durch eine n×n-Matrix A beschrieben, sodass T(v) = Av für die Standardkoordinaten.

Die Matrix hängt von der gewählten Basis ab. Ändert man die Basen mittels invertierbarer Matrizen P und Q, erhält man die neue Matrix A' mit A' = Q^{-1} A P (für entsprechende Größen). Bei V = W und derselben Basis heißt die Basisänderung oft A' = P^{-1} A P, eine Ähnlichkeitstransformation.

Eigenschaften: T ist genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist (d.h. det A ≠ 0). Der Rang von A entspricht dem Bild von T. Die Determinante gibt das orientierte Volumenverhältnis unter T an; ihr Vorzeichen bestimmt eine Orientierungstransformation. Die Matrixmultiplikation spiegelt die Verkettung von Transformationen wider: [T ∘ S] = [T][S].

Beispiele: Skalierung, Drehung, Spiegelung und Scherung lassen sich durch Matrizen darstellen. Translationen sind linear nicht durch Matrizen in R^n darstellbar, sondern erfordern erweiterte homogene Koordinaten (4×4-Matrizen in der Computergrafik).

Anwendungen: Transformationsmatrizen spielen eine zentrale Rolle in Geometrie, Physik, Ingenieurwesen, Computergrafik und Datenanalyse. Sie ermöglichen das effiziente Berechnen von Abbildungen, das Lösen linearer Gleichungssysteme sowie die Untersuchung von Eigenstrukturen und Symmetrien.