Matrixdarstellungen

Matrixdarstellungen bezeichnen die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen, relativ zu gewählten Basen von Vektorräumen. Gegeben eine lineare Abbildung T: V → W über einem Feld K und Basen B = (v1, ..., vn) von V sowie C = (w1, ..., wm) von W, existiert eine m×n-Matrix A, so dass für jeden Vektor x mit Koordinaten [x]_B die Koordinaten von T(x) in C durch [T(x)]_C = A [x]_B gelten. Die Spalten von A entsprechen den Koordinaten von T(vj) in der Basis C.

Die Matrix hängt von der gewählten Basis ab. Bei einer Basisänderung in Domain und Codomain ändern sich die Matrizen durch Pre- und Postmultiplikation: A' = P^{-1} A Q, wobei P die Basiswechselmatrix von B nach B' in V und Q die Basiswechselmatrix von C nach C' in W ist. Das bedeutet, gleiche lineare Abbildungen können in unterschiedlichen Basen durch verschiedene Matrizen dargestellt werden.

Wesentliche Eigenschaften, die bei Matrixdarstellungen erhalten bleiben, lassen sich über Äquivalenzklassen von Matrizen untersuchen. Ähnliche Matrizen A und A' = P^{-1} A P repräsentieren dieselbe lineare Abbildung in verschiedenen Basen des gleichen Vektorraums; sie teilen Eigenschaften wie Rang, Determinante, Spur und Eigenwerte. Die Matrixdarstellung erleichtert zudem Berechnungen wie das Zusammensetzen von Abbildungen und das Lösen von linearen Gleichungssystemen.

In der Darstellungstheorie wird der Begriff Matrixdarstellung auch für Gruppen- oder Algebra-Darstellungen genutzt: Ein Gruppenhomomorphismus G → GL(V) liefert eine Matrixdarstellung der Gruppe, wenn V in einer festen Basis betrachtet wird.

Beispiel: Die Abbildung T(x, y) = (2x + 3y, x − y) in R^2 hat in der Standardbasis die Matrix A = [[2, 3], [1, −1]]. Durch Änderung der Basis ergibt sich eine ähnliche Matrix.