Standaardrang

Standaardrang, in het hoger onderwijs soms aangeduid als standaardrang (ook wel matrixrang), is een maat voor de mate van lineaire onafhankelijkheid van de rijen en kolommen van een matrix. Voor een m×n-matrix A is de standaardrang het grootste getal r waarvoor er een r×r-submatrix met determinant niet gelijk aan nul bestaat. Deze r is bovendien gelijk aan de dimensie van de rijruimte en van de kolomruimte van A, en daarmee aan rank(A) en rank(A^T).

Berekening: De standaardrang kan worden vastgesteld door A te brengen in row echelon form of reduced row echelon form via Gauss-eliminatie; het aantal niet-nul rijen (of het aantal pivots) in die vorm is de rang. Een aanvullende methode is te kijken naar het grootste orde r van een invertibele r×r-submatrix.

Eigenschappen: De rang ligt tussen 0 en min(m,n). Rang is invariant onder routinematige rij- en kolomoperaties die omkeerbaar zijn; rang(A) = rang(A^T). Voor elke matrix A en vector b geldt: Ax = b heeft een oplossing als en slechts als rang(A) = rang([A|b]). Het aantal vrije variabelen in een systeem is dan n - rang(A). Als A een volledige rijrang heeft (rang(A) = m), dan heeft het lineaire stelsel maximaal één oplossing (of geen als het inconsistent is met b).

Voorbeeld: A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] heeft rang 2, aangezien er een 2×2-submatrix met determinant niet nul is (bijv. det[[1,2],[4,5]] = -3), en min(m,n) = 2. Zie ook matrixrang, rijruimte, kolomruimte, Gauss-eliminatie.