Simetrias

Simetrias são transformações que preservam propriedades importantes de um objeto, de modo que a imagem resultante seja considerada equivalente ao original. Em geometria, as simetrias costumam conservar distâncias e ângulos, identificando operações como rotações, reflexões, translações e combinações dessas. Um objeto é invariável sob uma simetria se ele coincide com a sua imagem após a transformação.

Em termos formais, o conjunto de todas as simetrias de um objeto, sob a composição de transformações, forma um grupo, o grupo de simetrias do objeto. Esses grupos são estudados pela teoria de grupos, que combina geometria, álgebra e representações para entender as estruturas subjacentes aos objetos.

Exemplos clássicos ilustram a ideia: o quadrado possui oito simetrias — quatro rotações (0°, 90°, 180°, 270°) e quatro reflexões — formando o grupo diédrico D4. Já para um círculo, as simetrias são contínuas: rotações de ângulo arbitrário e reflexões sobre qualquer diâmetro, correspondentes a grupos continuos como SO(2) com reflexões adicionais. Em objetos mais complexos, como poliedros ou estruturas moleculares, surgem grupos de simetrias que ajudam a classificá-los e a prever propriedades físicas e químicas.

Aplicações abrangem física (conservação de quantities por invariância), química e cristalografia (determinação de estruturas moleculares e padrões de repetição), matemática (classificação, resolução de problemas geométricos) e artes (padrões, tesselações e design). A noção de simetria também está ligada a leis de conservação, teoria de grupos e à compreensão de invariantes em sistemas variados.