combinações

Combinações são uma noção central da combinatória. Trata-se da seleção de k elementos de um conjunto de n elementos, sem considerar a ordem dos elementos escolhidos. A contagem dessas seleções é dada pela forma nCk, conhecida como coeficiente binomial, definido por nCk = n! / (k!(n−k)!). Observa-se que, se k < 0 ou k > n, então nCk = 0.

Propriedades importantes incluem a simetria nCk = n(n−1)…(n−k+1) / k! = nC(n−k), o que reflete que escolher k elementos é equivalente a escolher n−k que serão deixados de fora. Também existe uma relação de recorrência: nCk = (n−1)Ck−1 + (n−1)Ck, que aparece na construção de triângulos de Pascal. O coeficiente binomial aparece ainda na expansão de (1 + x)^n.

Variações comuns incluem as combinações com repetição, ou multiconjuntos, onde é possível repetir itens. O número de combinações com repetição de tamanho k a partir de n tipos é dado por C(n + k − 1, k). Exemplo: escolher 3 itens de 5 tipos com repetição resulta em C(7,3) = 35.

Exemplos práticos ajudam a ilustrar: escolher 3 de 5 é C(5,3) = 10. Em contextos de probabilidade, o cálculo de combinatórias fornece o numerador em muitos modelos de sorteio ou mãos de cartas, como as mãos de 5 cartassem levar em conta a ordem: C(52,5) = 2.598.960. Combinações distinguem-se de permutações, que consideram a ordem dos elementos.